flowchart LR S[Cảm nhiễm] -- Bị nhiễm --> L[Tiềm ẩn] L -- Tiến triển --> D[Bệnh] D -- Hồi phục --> L
Bài thực hành 1
Trong bài tập này chúng ta sẽ dùng sơ đồ dòng chảy để mô tả diễn tiến tự nhiên của một bệnh truyền nhiễm (trong trường hợp này là bệnh lao) và viết các phương trình vi phân.
Để đơn giản, chúng ta sẽ không xem xét mô hình điều trị mà chỉ xem xét diễn tiến tự nhiên của bệnh khi không điều trị. Chúng ta sẽ bắt đầu bằng cách viết một mô hình đơn giản, sau đó tìm cách làm cho mô hình thực tế hơn (và phức tạp hơn!).
Nên sử dụng bút chì khi làm bài tập để dễ dàng thay đổi khi cần.
1 Mô hình 1
Các đặc điểm quan trọng của bệnh lao phổi mà chúng ta muốn thể hiện trong mô hình này là:
Khi một người bị nhiễm bệnh, ban đầu họ sẽ trải qua giai đoạn nhiễm trùng tiềm ẩn (nghĩa là họ không có triệu chứng) trước khi tiến triển thành bệnh.
Những người mắc bệnh có thể ‘hồi phục’ (tức là hết bệnh) nhưng vi khuẩn vẫn tồn tại trong cơ thể, một thời gian sau họ có thể tái phát thành một đợt bệnh khác.
Sự nhiễm trùng là suốt đời. (Một số ý kiến cho rằng có một số trường hợp hoàn toàn ‘khỏi’ nhiễm trùng mà không cần điều trị, nhưng trong bài tập này chúng tôi giả định rằng điều này không xảy ra.)
Chỉ những người bị bệnh (có triệu chứng) mới có khả năng lây nhiễm.
Bài tập 1. Vẽ sơ đồ dòng chảy để thể hiện các đặc điểm này của bệnh lao, cố gắng sử dụng càng ít khoang càng tốt. Viết chú thích bằng từ ngữ lên các mũi tên.
HÃY BÁO CHO GIẢNG VIÊN BIẾT KHI NHÓM BẠN LÀM XONG PHẦN NÀY
Bài tập 2. Viết các phương trình vi phân mô tả sự vận động của mô hình này (mô tả bằng chữ)
HÃY BÁO CHO GIẢNG VIÊN BIẾT KHI NHÓM BẠN LÀM XONG PHẦN NÀY
\(\frac{dS}{dt} =\) Sinh - Chết (của nhóm Cảm nhiễm) - Bị nhiễm
\(\frac{dL}{dt} =\) Bị nhiễm - Chết (của nhóm Tiềm ẩn) - Tiến triển thành Bệnh + Hồi phục
\(\frac{dR}{dt} =\) Tiến triển thành Bệnh - Hồi phục - Chết (của nhóm Bệnh)
Bài tập 3. Chuyển chú thích bằng từ ngữ trên các mũi tên thành các biểu thức toán học bằng cách kí hiệu các tham số bằng chữ cái Hy Lạp và mô tả mối liên hệ giữa chúng bằng các phép tính
Bài tập 4. Viết lại phương trình vi phân bằng biểu thức toán học
HÃY BÁO CHO GIẢNG VIÊN BIẾT KHI NHÓM BẠN LÀM XONG PHẦN NÀY
\(\frac{dS}{dt} =\) Sinh - Chết (của nhóm Cảm nhiễm) - Bị nhiễm
\[\frac{dS}{dt} = bN - \mu S - \beta \frac{D}{N}S\]
\(\frac{dL}{dt} =\) Bị nhiễm - Chết (của nhóm Tiềm ẩn) - Tiến triển thành Bệnh + Hồi phục
\[\frac{dL}{dt} = \beta \frac{D}{N}S - \mu L - \gamma L + \sigma D\]
\(\frac{dR}{dt} =\) Tiến triển thành Bệnh - Chết (của nhóm Bệnh) - Hồi phục
\[\frac{dR}{dt} = \gamma L - (\mu + \alpha)D - \sigma D\]
2 Mô hình 2
Một đặc điểm quan trọng của bệnh lao là sự thay đổi tốc độ tiến triển từ nhiễm trùng tiềm ẩn sang bệnh: một số người thuộc loại ‘tiến’ triển nhanh’ (phát bệnh chỉ trong vòng vài năm từ lúc nhiễm) hoặc ‘tiến triển chậm’ (mất nhiều thời gian hơn để phát bệnh và thậm chí có thể chết mà chưa từng biểu hiện bệnh).
Để mô tả sự đa dạng trong kiểu hình bệnh này trong mô hình, thay vì chỉ có 1 ‘khoang tàu’ chứa những người nhiễm trùng tiềm ẩn duy nhất, chúng ta có thể chia thành 2 khoang ‘song song’: một khoang là người tiến triển nhanh (\(L_{F}\)) và một khoang là người tiến triển chậm (\(L_{S}\)). Chúng ta có thể sửa Mô hình 1 thành Mô hình 2 bằng cách thêm một ‘ngã ba’ ở mũi tên từ khoang Cảm nhiễm đi tới các khoang Nhiễm trùng tiềm ẩn. Cả hai khoang Nhiễm trùng tiềm ẩn đều đi tới khoang Bệnh.
Bài tập 1. Vẽ sơ đồ dòng chảy để thể hiện Mô hình 2, giả định rằng tất cả những người ‘khỏi bệnh’ đều quay lại khoang Tiềm ẩn tiến triển chậm
Mô hình 1
flowchart LR S[Cảm nhiễm] -- Bị nhiễm --> L[Tiềm ẩn] L -- Tiến triển --> D[Bệnh] D -- Hồi phục --> L
Mô hình 2
flowchart LR S[Cảm nhiễm] -- Bị nhiễm --> LS[Tiềm ẩn chậm] S -- Bị nhiễm --> LF[Tiềm ẩn nhanh] LF -- Tiến triển --> D[Bệnh] LS -- Tiến triển --> D D -- Hồi phục --> LS
Bài tập 2. Mô hình 2 cần thêm 1 số tham số, hãy ghi ra và mô tả các tham số này
HÃY BÁO CHO GIẢNG VIÊN BIẾT KHI NHÓM BẠN LÀM XONG PHẦN NÀY
Chúng ta cần
hai tham số tốc độ tiến triển (\(\gamma_{F}\), \(\gamma_{S}\)) (0,88 p.a., 0,0001 p.a.) và
một tham số (\(f\)) thể hiện tỉ lệ các ca bị lây nhiễm sẽ tiến triển nhanh (0,14).
Bài tập 3. Viết phương trình vi phân bằng biểu thức toán học cho Mô hình 2
HÃY BÁO CHO GIẢNG VIÊN BIẾT KHI NHÓM BẠN LÀM XONG PHẦN NÀY
\[\frac{dS}{dt} = bN - \mu S - \beta \frac{D}{N}S\] (giống Mô hình 1)
\[\frac{dL_{F}}{dt} = f \beta \frac{D}{N}S - \mu L_{F} - \gamma_{F}L_{F}\]
\[\frac{dL_{S}}{dt} = (1 - f) \beta \frac{D}{N}S - \mu L_{S} - \gamma_{F}L_{S} + \sigma D\]
\[\frac{dD}{dt} = \gamma_{F}L_{F} + \gamma_{S}L_{S} - (\mu + \alpha)D - \sigma D\]
3 Mô hình 3
Một đặc điểm quan trọng khác của bệnh lao là tái nhiễm ngoại sinh, nghĩa là người đang nhiễm lao tiềm ẩn lại tiếp tục bị lây nhiễm vi khuẩn lao ‘bổ sung’ từ bệnh nhân lao khác, khiến họ tiến triển bệnh nhanh hơn. Hiện tượng này thường được mô hình hóa bằng cách di chuyển những người từ khoang Tiềm ẩn tiến triển chậm sang khoang Tiềm ẩn tiến triển nhanh. Mô hình này giả định rằng thời gian tiềm ẩn của những người tiến triển nhanh rất ngắn, đến mức họ không có khả năng bị tái nhiễm ngoại sinh trước khi tiến triển thành bệnh.
Bài tập 1. Tạo ra Mô hình 3 bằng cách thêm quá trình tái nhiễm ngoại sinh vào sơ đồ dòng chảy của Mô hình 2.
flowchart LR S[Cảm nhiễm] -- Bị nhiễm --> LS[Tiềm ẩn chậm] S -- Bị nhiễm --> LF[Tiềm ẩn nhanh] LF -- Tiến triển --> D[Bệnh] LS -- Tiến triển --> D LS --> LF D -- Hồi phục --> LS
Bài tập 2. Mô hình 3 cần thêm 1 số tham số, hãy ghi ra và mô tả các tham số này.
Tốc độ tái nhiễm ngoại sinh là \(r \beta \frac{D}{N}\), với \(r\) là mức độ cảm nhiễm tương đối của nhóm Tiềm ẩn tiến triển chậm so với nhóm Cảm nhiễm
r > 1: Nhóm Tiềm ẩn tiến triển chậm dễ bị nhiễm hơn nhóm Cảm nhiễm
r = 1: Nhóm Tiềm ẩn tiến triển chậm và nhóm Cảm nhiễm có mức độ cảm nhiễm như nhau
r < 1: Nhóm Tiềm ẩn tiến triển chậm khó bị nhiễm hơn nhóm Cảm nhiễm
Bài tập 3. Viết phương trình vi phân bằng biểu thức toán học cho Mô hình 3.
\[\frac{dS}{dt} = bN - \mu S - \beta \frac{D}{N}S\] (giống Mô hình 1 & 2)
\[\frac{dL_{F}}{dt} = f \beta \frac{D}{N}S - \mu L_{F} - \gamma_{F}L_{F} + r \beta \frac{D}{N}L_{S}\]
\[\frac{dL_{S}}{dt} = (1 - f) \beta \frac{D}{N}S - \mu L_{S} - \gamma_{F}L_{S} + \sigma D - r \beta \frac{D}{N}L_{S}\]
\[\frac{dD}{dt} = \gamma_{F}L_{F} + \gamma_{S}L_{S} - (\mu + \alpha)D - \sigma D\] (giống Mô hình 2)